Question

【題目】如圖1，BD是矩形ABCD的對角線，∠ABD＝30°，AD＝1.將△BCD沿射線BD方向平移到△B′C′D′的位置，使B′為BD中點，連接AB′，C′D，AD′，BC′，如圖2.

(1)求證：四邊形AB′C′D是菱形；

(2)求四邊形ABC′D′的周長.

圖1　　　　　　　圖2

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）四邊形ABC′D′的周長為4.

【解析】

（1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，據此進行證明即可。

（2）先判定四邊形是菱形，再根據邊長AB=,AD= ，即可得到四邊形的周長為.

(1)證明：∵BD是矩形ABCD的對角線，∠ABD＝30°，

∴∠ADB＝60°.

由平移可得B′C′＝BC＝AD，∠D′B′C′＝∠DBC＝∠ADB＝60°.

∴AD∥B′C′.

∴四邊形AB′C′D是平行四邊形.

∵B′為BD中點，

∴Rt△ABD中，AB′＝BD＝DB′.

又∵∠ADB＝60°，

∴△ADB′是等邊三角形.

∴AD＝AB′.

∴四邊形AB′C′D是菱形.

(2)由平移可得，AB＝C′D′，∠ABD′＝∠C′D′B＝30°，

∴AB∥C′D′.

∴四邊形ABC′D′是平行四邊形.

由(1)可得，AC′⊥B′D，

∴四邊形ABC′D′是菱形.

∵在Rt△DAB中，AB＝AD＝，

∴四邊形ABC′D′的周長為4.