Question

已知二次函數y=x²-2mx+4m-8
（1）當x≤2時，函數值y隨x的增大而減小，求m的取值范圍．
（2）以拋物線y=x²-2mx+4m-8的頂點A為一個頂點作該拋物線的內接正三角形AMN（M，N兩點在拋物線上），請問：△AMN的面積是與m無關的定值嗎？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．
（3）若拋物線y=x²-2mx+4m-8與x軸交點的橫坐標均為整數，求整數m的最小值．

Answer 1

（1）二次函數y=x²-2mx+4m-8的對稱軸是：x=m．
∵當x≤2時，函數值y隨x的增大而減小，
而x≤2應在對稱軸的左邊，
∴m≥2．

（2）如圖：頂點A的坐標為（m，-m²+4m-8）
△AMN是拋物線的內接正三角形，
MN交對稱軸于點B，tan∠AMB=tan60°=

AB

BM

=

3

，
則AB=

3

BM=

3

BN，
設BM=BN=a，則AB=

3

a，
∴點M的坐標為（m+a，

3

a-m²+4m-8），
∵點M在拋物線上，
∴

3

a-m²+4m-8=（m+a）²-2m（m+a）+4m-8，
整理得：a²-

3

a=0
得：a=

3

（a=0舍去）
所以△AMN是邊長為2

3

的正三角形，
S_△AMN=

1

2

×2

3

×3=3

3

，與m無關；

（3）當y=0時，x²-2mx+4m-8=0，
解得：x=m±

m2-4m+8

=m±

(m-2)2+4

，
∵拋物線y=x²-2mx+4m-8與x軸交點的橫坐標均為整數，
∴（m-2）²+4應是完全平方數，
∴m的最小值為：m=2．