Question

如果一個三角形的一條高分這個三角形為兩個相似三角形，那么這個三角形必是（　　）

A．等腰三角形

B．任意三角形

C．直角三角形

D．直角三角形或等腰三角形

Answer 1

分析：根據相似三角形對應角相等，分①高線分成的兩個角相等，②高線分成的兩個角不相等分析解答．

解答：解：如圖，△ABC的高線分成的兩個三角形為△ABD與△ACD，
①當高線分成的兩個角相等時，
∵△ABD∽△ACD，
∴∠1=∠2，
在△ABD與△ACD中，

∠1=∠2 AD=AD ∠ADB=∠ADC=90°

，
∴△ABD≌△ACD（ASA），
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形；
②高線分成的兩個角不相等時，
∵△ABD∽△ACD，
∴∠1=∠C，∠2=∠B，
又∵∠1+∠B+∠C+∠2=180°，
∴∠1+∠2=

1

2

×180°=90°，
即∠BAC=90°，
所以△ABC是直角三角形，
綜上所述，△ABC是直角三角形或等腰三角形．
故選D．

點評：本題考查了相似三角形對應角相等的性質，注意高線分成的兩個角分相等與不相等兩種情況討論求解．