Question

【題目】如圖，已知點A是雙曲線在第三象限分支上的一個動點，連結AO并延長交另一分支于點B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點C在第四象限內，且隨著點A的運動，點C的位置也在不斷變化，但點C始終在雙曲線上運動，則k的值是 ．

Answer 1

【答案】﹣3

【解析】試題分析：根據反比例函數的性質得出OA=OB，連接OC，過點A作AE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F，根據等邊三角形的性質和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，相似比，求出面積比，求出△OFC的面積，即可得出答案．∵雙曲線的圖象關于原點對稱，

∴點A與點B關于原點對稱， ∴OA=OB， 連接OC，如圖所示， ∵△ABC是等邊三角形，OA=OB，

∴OC⊥AB．∠BAC=60°， ∴tan∠OAC==， ∴OC=OA，

過點A作AE⊥y軸，垂足為E，過點C作CF⊥y軸，垂足為F， ∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，

∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF， ∴△OFC∽△AEO，相似比， ∴面積比，

∵點A在第一象限，設點A坐標為（a，b）， ∵點A在雙曲線上， ∴S△AEO=ab=，

∴S△OFC=FCOF=， ∴設點C坐標為（x，y）， ∵點C在雙曲線上， ∴k=xy，

∵點C在第四象限， ∴FC=x，OF=﹣y． ∴FCOF=x（﹣y）=﹣xy=﹣