Question

【題目】若二次函數 的圖像記為 ，其頂點為 ，二次函數 的圖像記為 ，其頂點為 ，且滿足點 在 上，點 在 上，則稱這兩個二次函數互為“伴侶二次函數”．

（1）寫出二次函數 的一個“伴侶二次函數”；
（2）設二次函數 與 軸的交點為 ，求以點 為頂點的二次函數 的“伴侶二次函數”；
（3）若二次函數 與其“伴侶二次函數”的頂點不重合，試求該“伴侶二次函數”的二次項系數.

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=x2，

∴頂點坐標為（0，0）且經過點（2，4）．設以（2，4）為頂點且經過（0，0）的拋物線的函數關系式為y=a（x-2）2+4，將x=0，y=0代入y=a（x-2）2+4，解得a=-1．

∴二次函數y=x2的一個“伴侶二次函數”為y=-（x-2）2+4

（2）解：令x=0，則y=x2-2x+3=3，所以二次函數y=x2-2x+3與y軸的交點P坐標為（0，3）；

∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2，

∴頂點坐標為（1，2）．設以（0，3）為頂點且經過（1，2）的拋物線的函數關系式為y=ax2+3，將x=1，y=2代入y=ax2+3，解得a=-1．

∴以點P為頂點的二次函數y=x2-2x+3的“伴侶二次函數”為y=-x2+3

（3）解：y=2x2-1，其頂點為（0，-1），y=a2（x+h）2+k，其頂點為（-h，k），

∵二次函數y1=a1x2+b1x+c1與其伴侶二次函數y2=a2x2+b2x+c2的頂點不重合，

∴h≠0時k≠-1，根據“伴侶二次函數”定義可得-1=ah2+k，k=2h2-1，

∴ah2=-2h2∴a=-2，

∴該“伴侶二次函數”的二次項系數為-2

【解析】（1）由“伴侶二次函數”的定義，得到y=x2的頂點坐標為（0，0）且經過點（2，4）；設以（2，4）為頂點且經過（0，0）的拋物線的函數關系式為y=a（x-2）2+4，將x=0，y=0代入y=a（x-2）2+4，解得a=-1；得到二次函數y=x2的一個“伴侶二次函數”為y=-（x-2）2+4；（2）由二次函數y=x2-2x+3與y軸的交點P坐標為（0，3），再由頂點式得到頂點坐標為（1，2），得到以點P為頂點的二次函數y=x2-2x+3的“伴侶二次函數”為y=-x2+3；（3）由y=2x2-1的頂點坐標為（0，-1），y=a2（x+h）2+k，其頂點坐標為（-h，k），根據二次函數y1=a1x2+b1x+c1與其伴侶二次函數y2=a2x2+b2x+c2的頂點不重合，得到h≠0時k≠-1，根據“伴侶二次函數”定義可得-1=ah2+k，k=2h2-1，得到ah2=-2h2，求出a的值，得到該“伴侶二次函數”的二次項系數.