Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中．直線y=﹣x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，拋物線y=ax2+bx+c經過B，C兩點，與x軸負半軸交于點A，連結AC，A(-1,0)

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P（m，n）是拋物線上在第一象限內的一點，求四邊形OCPB面積S關于m的函數表達式及S的最大值；

（3）若M為拋物線的頂點，點Q在直線BC上，點N在直線BM上，Q，M，N三點構成以MN為底邊的等腰直角三角形，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y==﹣x2+2x+3；（2）S=﹣（m﹣）2+，當m=時，S有最大值是；（3）點N的坐標為（2，2）或（﹣1，8）

【解析】試題分析：（1）先根據直線BC的解析式求出點B和C的坐標，再利用待定系數法求拋物線的解析式；

（2）作高線PE，利用面積和求四邊形OCPB面積S，并配方成頂點式，求其最值；

（3）先將拋物線配方成頂點式求M（1，4），利用待定系數法求直線MB的解析式，利用解析式分別表示N、Q兩點的坐標；

分兩種情況：①當N在射線MB上時，如圖2，

過Q作EF∥y軸，分別過M、N作x軸的平行線，交EF于E、F，證明△EMQ≌△FQN，根據全等三角形的性質EM=FQ，EQ=FN，列方程組解出即可；

②當N在射線BM上時，如圖3，同理可求得點N的坐標．

試題解析：（1）∵直線y=﹣x+3與x軸交于點B，與y軸交于點C，

∴當x=0時，y=3，

∴C（0，3），

∴OC=3，

當y=0時，-x+3=0，

x=3，

∴B（3，0），

設拋物線的解析式為：y=a（x+1）（x-3），

把C（0，3）代入得：3=a（0+1）（0-3），

a=-1，

∴y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3；

（2）如圖1，過P作PE⊥x軸于E，

∵P（m，n），

∴OE=m，BE=3-m，PE=n，

S=S梯形COEP+S△PEB=OE（PE+OC）+BEPE，

=m（n+3）+n（3-m），

=m+n，

∵n=-m2+2m+3，

∴S=m+（-m2+2m+3）=-m2+m+=-（m-）2+，

當m=時，S有最大值是；

（3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴M（1，4），

設直線BM的解析式為：y=kx+b，

把B（3，0），M（1，4）代入得： ，解得： ，

∴直線BM的解析式為：y=-2x+6，

設N（a，-2a+6），Q（n，-n+3），

分兩種情況：

①當N在射線MB上時，如圖2，

過Q作EF∥y軸，分別過M、N作x軸的平行線，交EF于E、F，

∵△EQN是等腰直角三角形，

∴MQ=QN，∠MQN=90°，

∴∠EQM+∠FQN=90°，

∵∠EQM+∠EMQ=90°，

∴∠FQN=∠EMQ，

∵∠QEM=∠QFN=90°，

∴△EMQ≌△FQN，

∴EM=FQ，EQ=FN，

∴，解得： ，

當a=2時，y=-2a+6=-2×2+6=2，

∴N（2，2），

②當N在射線BM上時，如圖3，

同理作輔助線，得△ENQ≌△FQM，

∴EN=FQ，EQ=FM，

∴，解得： ，

∴N（-1，8），

綜上所述，點N的坐標為（2，2）或（-1，8）．