Question

【題目】如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，點M是BC邊上的動點（不與B，C重合），點N是AM的中點，過點N作EF⊥AM，分別交AB，BD，CD于點E，K，F，設BM＝x．

（1）AE的長為______（用含x的代數式表示）；

（2）設EK＝2KF，則的值為______．

Answer 1

【答案】 x

【解析】

（1）根據勾股定理求得AM，進而得出AN，證得△AEN∽△AMB，由相似三角形的性質即可求得AE的長；

（2）連接AK、MG、CK，構建全等三角形和直角三角形，證明AK＝MK＝CK，再根據四邊形的內角和定理得∠AKM＝90°，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得NK＝AM＝AN，然后根據相似三角形的性質求得＝＝x，即可得出＝x．

（1）解：∵正方形ABCD的邊長為1，BM＝x，

∴AM＝，

∵點N是AM的中點，

∴AN＝，

∵EF⊥AM，

∴∠ANE＝90°，

∴∠ANE＝∠ABM＝90°，

∵∠EAN＝∠MAB，

∴△AEN∽△AMB，

∴＝，即＝，

∴AE＝，

故答案為：；

（2）解：如圖，連接AK、MG、CK，

由正方形的軸對稱性△ABK≌△CBK，

∴AK＝CK，∠KAB＝∠KCB，

∵EF⊥AM，N為AM中點，

∴AK＝MK，

∴MK＝CK，∠KMC＝∠KCM，

∴∠KAB＝∠KMC，

∵∠KMB+∠KMC＝180°，

∴∠KMB+∠KAB＝180°，

又∵四邊形ABMK的內角和為360°，∠ABM＝90°，

∴∠AKM＝90°，

在Rt△AKM中，AM為斜邊，N為AM的中點，

∴KN＝AM＝AN，

∴＝，

∵△AEN∽△AMB，

∴＝＝x，

∴＝x，

故答案為：x．