Question

【題目】如圖，直線y=﹣2x+4與坐標軸分別交于C、B兩點，過點C作CD⊥x軸，點P是x軸下方直線CD上的一點，且△OCP與△OBC相似，求過點P的雙曲線解析式．

Answer 1

【答案】解：∵直線y=﹣2x+4與坐標軸分別交于C、B兩點，
∴令y=0，可得﹣2x+4=0，解得x=2，即C（2，0），OC=2，
令x=0，可得y=4，即B（0，4），OB=4，
①如圖1，當∠OBC=∠COP時，△OCP∽△BOC，

∴=，即=，解得CP=1，
∴P（2，﹣1），
設過點P的雙曲線解析式y=，把P點代入解得k=﹣2，
∴過點P的雙曲線解析式y=﹣，
②如圖2，當∠OBC=∠CPO時，△OCP∽△COB，

在△OCP和△COB中，

∴△OCP≌△COB（AAS）
∴CP=BO=4，
∴P（2，﹣4）
設過點P的雙曲線解析式y=，把P點代入得﹣4=，解得k=﹣8，
∴過點P的雙曲線解析式y=．
綜上可得，過點P的雙曲線的解析式為y=﹣或y=．
【解析】由直線y=﹣2x+4與坐標軸分別交于C、B兩點，易得OC=2，OB=4，再分兩種情況①當∠OBC=∠COP時，△OCP與△OBC相似，②當∠OBC=∠CPO時，△OCP與△OBC相似分別求出點的坐標，再求出過點P的雙曲線解析式．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．