Question

如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4

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，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，試求CM+MN的最小值．

Answer 1

分析：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，再根據BC=4

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，∠ABC=45°，BD平分∠ABC可知△BCE是等腰直角三角形，由銳角三角函數的定義即可求出CE的長．

解答：解：過點C作CE⊥AB于點E，交BD于點M′，過點M′作M′N′⊥BC于N′，則CE即為CM+MN的最小值，
∵BC=4

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，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BC•cos45°=4

2

×

2

2

=4．
故CM+MN的最小值為4．

點評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，根據題意作出輔助線，構造出等腰直角三角形，利用銳角三角函數的定義求解是解答此題的關鍵．