Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點，請解決下列問題．

（1）填空：點C的坐標為 點D的坐標為 ;
（2）設點P的坐標為（a，0），當|PD﹣PC|最大時，求α的值并在圖中標出點P的位置；
（3）在（2）的條件下，將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′，設點C對應點C′的橫坐標為t（其中0＜t＜6），在運動過程中△B′C′P′與△BCD重疊部分的面積為S，求S與t之間的關系式，并直接寫出當t為何值時S最大，最大值為多少？

Answer 1

【答案】
（1）（0，3）；（1，4）
（2）

∵在三角形中兩邊之差小于第三邊，

∴延長DC交x軸于點P，

設直線DC的解析式為y=kx+b，把D、C兩點坐標代入可得，解得，

∴直線DC的解析式為y=x+3，

將點P的坐標（a，0）代入得a+3=0，求得a=﹣3，

如圖1，點P（﹣3，0）即為所求；

（3）

過點C作CE∥x，交直線BD于點E，如圖2，

由（2）得直線DC的解析式為y=x+3，

由法可求得直線BD的解析式為y=﹣2x+6，直線BC的解析式為y=﹣x+3，

在y=﹣2x+6中，當y=3時，x=，

∴E點坐標為（，3），

設直線P′C′與直線BC交于點M，

∵P′C′∥DC，P′C′與y軸交于點（0，3﹣t），

∴直線P′C′的解析式為y=x+3﹣t，

聯立，解得，

∴點M坐標為（，），

∵B′C′∥BC，B′坐標為（3+t，0），

∴直線B′C′的解析式為y=﹣x+3+t，

分兩種情況討論：

①當0＜t＜時，如圖2，B′C′與BD交于點N，

聯立，解得，

∴N點坐標為（3﹣t，2t），

S=S△B′C′P﹣S△BMP﹣S△BNB′=×6×3﹣（6﹣t）×（6﹣t）﹣t×2t=﹣t2+3t，

其對稱軸為t=，可知當0＜t＜時，S隨t的增大而增大，當t=時，有最大值；

②當≤t＜6時，如圖3，直線P′C′與DB交于點N，

聯立，解得，

∴N點坐標為（，），

S=S△BNP′﹣S△BMP′=（6﹣t）×﹣×（6﹣t）×=（6﹣t）2=t2﹣t+3；

顯然當＜t＜6時，S隨t的增大而減小，當t=時，S=

綜上所述，S與t之間的關系式為S=，且當t=時，S有最大值，最大值為．

【解析】（1）根據拋物線與坐標軸交點坐標求法和頂點坐標求法計算即可；
（2）求|PD﹣PC|的值最大時點P的坐標，應延長CD交x軸于點P．因為|PD﹣PC|小于或等于第三邊CD，所以當|PC﹣PD|等于CD時，|PC﹣PD|的值最大．因此求出過CD兩點的解析式，求它與x軸交點坐標即可；
（3）過C點作CE∥x軸，交DB于點E，求出直線BD的解析式，求出點E的坐標，求出P′C′與BC的交點M的坐標，分點C′在線段CE上和在線段CE的延長線上兩種情況，再分別求得N點坐標，再利用圖形的面積的差，可表示出S，再求得其最大值即可．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的最值的相關知識點，需要掌握如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．