Question

【題目】如圖所示，已知點M（1，4），N（5，2），P（0，3），Q（3，0），過P，Q兩點的直線的函數(shù)表達式為y＝﹣x+3，動點P從現(xiàn)在的位置出發(fā)，沿y軸以每秒1個單位長度的速度向上移動，設(shè)移動時間為ts．

（1）若直線PQ隨點P向上平移，則：

①當t＝3時，求直線PQ的函數(shù)表達式．

②當點M，N位于直線PQ的異側(cè)時，確定t的取值范圍．

（2）當點P移動到某一位置時，△PMN的周長最小，試確定t的值．

（3）若點P向上移動，點Q不動．若過點P，Q的直線經(jīng)過點A（x0，y0），則x0，y0需滿足什么條件？請直接寫出結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）①y＝﹣x+6，②2＜t＜4；（2）；（3）x0＜3時，y0＞﹣x+3，當x0＞3時，y0＜﹣x0+3．

【解析】

（1）①設(shè)平移后的函數(shù)表達式為：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，即可求解；

②當直線PQ過點M時，將點M的坐標代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；同理當直線PQ過點N時，t＝4，即可求解；

（2）作點N關(guān)于y軸的對稱軸N′（﹣5，2），連接MN′交y軸于點P，則點P為所求點，即可求解；

（3）由題意得：x0＜3時，y0＞﹣x+3，當x0＞3時，y0＜﹣x0+3．

解：（1）①設(shè)平移后的函數(shù)表達式為：y＝﹣x+b，其中b＝3+t，

故y＝﹣x+3+t，

當t＝3時，PQ的表達式為：y＝﹣x+6；

②當直線PQ過點M時，將點M的坐標代入y＝﹣x+3+t得：4＝﹣1+3+t，解得：t＝2；

同理當直線PQ過點N時，t＝4，

故t的取值范圍為：2＜t＜4；

（2）作點N關(guān)于y軸的對稱軸N′（﹣5，2），連接MN′交y軸于點P，則點P為所求點，

則PN＝PN′，

△PMN的周長＝MN+PM+PN＝MN+PM+PN′＝MN+MN′為最小，

設(shè)直線MN′的表達式為：y＝kx+b，則，解得：，

故直線MN′的表達式為：y＝x+，

當x＝0時，y＝，故點P（0，），

∴t＝﹣3＝；

（3）點A（x0，y0），點Q（3，0），點P（0，t+3）

由題意得：x0＜3時，y0＞﹣x+3，當x0＞3時，y0＜﹣x0+3．