Question

【題目】如圖1，將邊長為1的正方形ABCD壓扁為邊長為1的菱形ABCD．在菱形ABCD中，∠A的大小為α，面積記為S．

（1）請補全表：

α	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°
S				1

（2）填空：

由（1）可以發現單位正方形在壓扁的過程中，菱形的面積隨著∠A大小的變化而變化，不妨把單位菱形的面積S記為S（α）．例如：當α＝30°時，S＝S（30°）＝；當α＝135°時，S＝S（135°）＝．由上表可以得到S（60°）＝S（　 　°）；S（150°）＝S（　 　°），…，由此可以歸納出S（180°﹣α）＝（　 　°）．

（3）兩塊相同的等腰直角三角板按圖2的方式放置，AD＝，∠AOB＝α，試探究圖中兩個帶陰影的三角形面積是否相等，并說明理由（注：可以利用（2）中的結論）．

Answer 1

【答案】（1）（2）120；30；α（3）兩個帶陰影的三角形面積相等

【解析】

（1）過D作DE⊥AB于點E，當α＝45°時，可求得DE，從而可求得菱形的面積S，同理可求當α＝60°時S的值，當α＝120°時，過D作DF⊥AB交BA的延長線于點F，則可求得DF，可求得S的值，同理當α＝135°時S的值；

（2）根據表中所計算出的S的值，可得出答案；

（3）將△ABO沿AB翻折得到菱形AEBO，將△CDO沿CD翻折得到菱形OCFD．利用（2）中的結論，可求得△AOB和△COD的面積，從而可求得結論．

解：（1）當α＝45°時，如圖1，過D作DE⊥AB于點E，

則DE＝AD＝，

∴S＝ABDE＝，

同理當α＝60°時S＝，

當α＝120°時，如圖2，過D作DF⊥AB，交BA的延長線于點F，

則∠DAE＝60°，

∴DF＝AD＝，

∴S＝ABDF＝，

同理當α＝150°時，可求得S＝，

故表中依次填寫：；；；；

（2）由（1）可知S（60°）＝S（120°），

S（150°）＝S（30°），

∴S（180°﹣α）＝S（α）

故答案為：120；30；α；

（3）兩個帶陰影的三角形面積相等．

證明：如圖3將△ABO沿AB翻折得到菱形AMBO，將△CDO沿CD翻折得到菱形OCND．

∵∠AOD＝∠COB＝90°，

∴∠COD+∠AOB＝180°，

∴S△AOB＝S菱形AMBO＝S（α）

S△CDO＝S菱形OCND＝S（180°﹣α）

由（2）中結論S（α）＝S（180°﹣α）

∴S△AOB＝S△CDO．