Question

【題目】已知直線，直線和直線、交于點和，點是直線上一動點.

圖1 圖2 圖3

(1)如圖1，當點在線段上運動時，，，之間存在什么數量關系?請你猜想結論并說明理由

(2)當點在、兩點的外側運動時(點與點、不重合，如圖2和圖3)，上述(1)中的結論是否還成立?若不成立，請直接寫出，，之間的數量關系，不必寫理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）過點P作PE∥l1，根據平行線的性質即可得到，∠APE=∠PAC，∠BPE=∠PBD，根據∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，可得∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）根據（1）的方法，過點P作PE∥l1，根據平行線的性質，可得∠APE=∠PAC，∠PBD=∠BPE，圖2中根據∠APB=∠APE-∠BPE，可得∠PAC=∠APB+∠PBD；圖3中，根據∠APB=∠BPE-∠APE，可得∠PBD=∠PAC+∠APB．

解：（1）∠APB=∠PAC+∠PBD，
如圖1，過點P作PE∥l1，
∴∠APE=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE=∠PBD，
∴∠APE+∠BPE=∠PAC+∠PBD，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）不成立，
如圖2：∠PAC=∠APB+∠PBD，
理由：過點P作PE∥l1，
∴∠APE=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE=∠PBD，
∵∠APB=∠APE-∠BPE=∠PAC-∠PBD，
∴∠PAC=∠APB+∠PBD；
如圖3：∠PBD=∠PAC+∠APB，
理由：過點P作PE∥l1，
∴∠APE=∠PAC，
∵l1∥l2，
∴PE∥l2，
∴∠BPE=∠PBD，
∵APB=∠BPE-∠APE=∠PBD-∠PAC，
∴∠PBD=∠PAC+∠APB．