Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm.. 點M從點A開始沿AB邊向點B以1cm/秒的速度向B點移動，點N從點B開始沿BC邊以2cm/秒的速度向點C移動. 若M, N分別從A， B點同時出發，設移動時間為t (0<t<6)，△DMN的面積為S.

(1) 求S關于t的函數關系式，并求出S的最小值；

(2) 當△DMN為直角三角形時，求△DMN的面積.

Answer 1

【答案】（1）27（2）

【解析】

（1）根據t秒時，M、N兩點的運動路程，分別表示出AM、BM、BN、CN的長度，由S△DMN=S矩形ABCD－S△ADM－S△BMN－S△CDN進行列式即可得到S關于t的函數關系式，通過配方即可求得最小值；

（2）當△DMN為直角三角形時，由∠MDN<90°，分∠NMD或∠MND為90°兩種情況進行求解即可得.

(1) 由題意，得AM=tcm，BN=2tcm，則BM=(6－t)cm，CN=(12－2t)cm，

∵S△DMN=S矩形ABCD－S△ADM－S△BMN－S△CDN，

∴S=12×6－×12t－(6－t)·2t－×6(12－2t)=t2－6t+36=(t－3)2+27，

∵t=3在范圍0<t<6內，∴S的最小值為27cm2；

(2) 當△DMN為直角三角形時，∵∠MDN<90°，∴可能∠NMD或∠MND為90°，

當∠NMD=90°時，DN2=DM2+MN2，

∴(12－2t)2+62=122+t2+(6－t)2+(2t)2，解得t=0或－18，不在范圍0<t<6內，

∴不可能；

當∠MND=90°時，DM2=DN2+MN2，

∴122+t2=(12－2t)2+62+(6－t)2+(2t)2，解得t=或6，(6不在范圍0<t<6內舍)，

∴S=(－3)2+27=cm2.