Question

【題目】在△ABC中，AB=AC=10，sin∠BAC=，過點C作CD∥AB，點E在邊AC上，AE=CD，聯結AD，BE的延長線與射線CD、射線AD分別交于點F、G．設CD=x，△CEF的面積為y．

（1）求證：∠ABE=∠CAD．

（2）如圖，當點G在線段AD上時，求y關于x的函數解析式及定義域．

（3）若△DFG是直角三角形，求△CEF的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）y=（0＜x≤5-5）；（3）若△DFG是直角三角形，則△CEF的面積為15或．

【解析】

（1）由CD∥AB知∠BAC=∠ECD，結合AE=CD，AB=AC證△DAC≌△EBA即可得；

（2）作EH⊥AB，先表示出S△ABE=ABEH=3x，再證∴△CEF∽△AEB，得=（）2，據此可得答案；

（3）由∠DFG=∠EBA＜∠ABC知∠DFG不可能為直角，從而分∠DGF=90°和∠GDF=90°兩種情況分別求解．

（1）∵CD∥AB，

∴∠BAC=∠ECD，

又∵AE=CD，AB=AC，

∴△DAC≌△EBA（SAS），

∴∠ABE=∠CAD；

（2）過點E作EH⊥AB，垂足為H，

由題意知CE=AC-AE=10-x，EH=AEsin∠CAB=x，

∴AH=x，

則S△ABE=ABEH=×10×x=3x，

∵CF∥BA，

∴△CEF∽△AEB，

∴=（）2，即=，

∴y=（0＜x≤5-5）；

（3）∵∠DFG=∠EBA＜∠ABC，

∴∠DFG不可能為直角，

①當∠DGF=90°時，∠EGA=90°，

由∠GAE=∠GBA知△GAE∽△GBA，

∴tan∠GBA===，

在Rt△EHB中，tan∠GBA===，

∴=，

解得：x=0（舍）或x=5，

∴S△CEF==15；

②當∠GDF=90°時，∠BAG=90°，

由①知△GAE∽△GBA，

則∠AEB=∠GEA=90°，

∴BE=ABsin∠BAC=10×=6，AE==8，CE=AC-AE=2，

由△CEF∽△AEB知=，即=，

則EF=，

∴S△CEF=×EF×CE=×2×=；

綜上所述，若△DFG是直角三角形，則△CEF的面積為15或．