Question

【題目】已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（0，2），點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)．

（1）求證：BD∥AC；

（2）若點(diǎn)C在x軸正半軸上，且BD與AC的距離等于1，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）如果OE⊥AC于點(diǎn)E，當(dāng)四邊形ABDE為平行四邊形時(shí)，求直線AC的解析式．

Answer 1

【答案】（1）BD∥AC；（2）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）；（3）直線AC的解析式為y=﹣x+4．

【解析】試題分析：（1）由A與B的坐標(biāo)求出OA與OB的長，進(jìn)而得到B為OA的中點(diǎn)，而D為OC的中點(diǎn)，利用中位線定理即可得證；
（2）如圖1，作BF⊥AC于點(diǎn)F，取AB的中點(diǎn)G，確定出G坐標(biāo)，由平行線間的距離相等求出BF的長，在直角三角形ABF中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG的長，進(jìn)而確定出三角形BFG為等邊三角形，即∠BAC=30°，設(shè)OC=x，則有AC=2x，利用勾股定理表示出OA，根據(jù)OA的長求出x的值，即可確定出C坐標(biāo)；
（3）如圖2，當(dāng)四邊形ABDE為平行四邊形時(shí)，AB∥DE，進(jìn)而得到DE垂直于OC，再由D為OC中點(diǎn)，得到OE=CE，再由OE垂直于AC，得到三角形AOC為等腰直角三角形，求出OC的長，確定出C坐標(biāo)，設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，將A與C坐標(biāo)代入求出k與b的值，即可確定出AC解析式．

試題解析：

（1）∵A（0，4），B（0，2），

∴OA=4，OB=2，點(diǎn)B為線段OA的中點(diǎn)，

又點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)，即BD為△AOC的中位線，

∴BD∥AC；

（2）如圖1，作BF⊥AC于點(diǎn)F，取AB的中點(diǎn)G，則G（0，3），

∵BD∥AC，BD與AC的距離等于1，

∴BF=1，

∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=2，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，

∴FG=BG=AB=1，

∴△BFG是等邊三角形，∠ABF=60°．

∴∠BAC=30°，

設(shè)OC=x，則AC=2x，

根據(jù)勾股定理得：OA=，

∵OA=4，

∴x=,

∵點(diǎn)C在x軸的正半軸上，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，0）；

（3）如圖2，當(dāng)四邊形ABDE為平行四邊形時(shí)，AB∥DE，

∴DE⊥OC，

∵點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)，

∴OE=EC，

∵OE⊥AC，

∴∠OCA=45°，

∴OC=OA=4，

∵點(diǎn)C在x軸的正半軸上，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）．

將A（0，4），C（4，0）代入AC的解析式得：

解得：

∴直線AC的解析式為y=﹣x+4．