Question

【題目】閱讀下列內容，并解決問題．

一道習題引發的思考

小明在學習《勾股定理》一章內容時，遇到了一個習題，并對有關內容進行了研究；

習題再現：

古希臘的哲學家柏拉圖曾指出，如果表示大于1的整數，，，，那么，，為勾股數.你認為對嗎？如果對，你能利用這個結論得出一些勾股數嗎？

資料搜集：

定義：勾股數是指可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數.一般地，若三角形三邊長，，都是正整數，且滿足，那么，，稱為一組勾股數．

關于勾股數的研究：我囯西周初數學家商高在公元前1000年發現了“勾三，股四，弦五”，這組數是世界上最早發現的一組勾股效，畢達哥拉斯學派、柏拉圖學派、我國數學家劉徽、古希臘數學家丟番圖都進行過勾股數的研究．習題中的表達式是柏拉圖給出的勾股數公式，這個表達式未給出全部勾股數，世界上第一次給出勾股數通解公式的是《九幸算術），其勾股數公式為：，，，其中，，是互質的奇數．（注：，，的相同倍數組成的一組數也是勾股數）

問題解答：

（1）根據柏拉圖的研究，當時，請直接寫出一組勾股數；

（2）若表示大于1的整數，試證明是一組勾股數；

（3）請舉出一個反例（即寫出一組勾股數），說明柏拉圖給出的勾股數公式不能構造出所有的勾股數．

Answer 1

【答案】（1）(12，35，37)；（2）見解析；（3）反例：(5，12，13)

【解析】

(1)把直接代入，，即可求解；

(2)利用勾股定理的逆定理即可證明結論；

(3)柏拉圖給出的勾股數公式不能構造出5、12、13這組勾股數．

(1)把直接代入，，得

，，，

故答案為：(12，35，37)；

(2)∵表示大于1的整數，
∴，，都是正整數，且是最大邊，

∵

，

∴，

即，，為勾股數；

(3)當時，勾股數為(3，4，5)；

當時，勾股數為(8，6，10)；

當時，勾股數為(15，8，17)；

(5，12，13)是勾股數，而柏拉圖給出的勾股數公式不能構造出．