Question

（2012•保定二模）（1）如圖1所示，△ABC是正三角形，E，D分別是以C為頂點的CB和AC延長線上的點，且BE=CD，連接DB并延長，交AE于F．求∠AFB的度數；
（2）若將（1）中正△ABC改成正四邊形ABCM，如圖2 所示，E，D分別是以C為頂點的CB和MC延長線上的點，且BE=CD，連接DB并延長，交AE于F．求∠AFB的度數；
（3）若將（2）中正△ABC改成正五邊形ABCMN，如圖3 所示，其它條件均不變，則∠AFB的度數為

108°

；
（4）若將（1）中正△ABC改成正n邊形ABCM…N，如圖4所示，其它條件均不變，根據（1），（2），（3）中所展現的規律用含字母n的代數式表達∠AFB的度數，并說明理由．
（5）若將（2）中正四邊形ABCM改成正六邊形ABCMKN，其它條件均不變，則∠AFB的度數為

120°

．

Answer 1

分析：（1）可通過證三角形AEB和BDC全等得出∠E=∠D，再根據∠EBF=∠CBD，那么這兩個三角形的外角∠AFB，∠ACB就應該相等．從而得出∠AFB的度數．
（2）都和（1）相同，都要先證明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等來求解．
（3）都和（1）相同，都要先證明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等來求解．
（4）由正三角形、正四邊形、正五邊形時，∠AFB的度數分別為60°，90°，108°，可得出“正n邊形”，其它條件不變，則∠AFB度數為=

(n-2)×180°

n

；
（5）都和（1）相同，都要先證明三角形ABE和BCD全等，然后得出角相等來求解．

解答：解：（1）在正△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠ACB=60°；

（2）在正四邊形ABCM中，∠ABC=∠ACB=90°，AB=BC
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=90°；

（3）在正五邊形ABCM中，∠ABC=∠ACB=108°，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=108°．
故答案為：108°；

（4）結論：∠AFB=∠MCB=

(n-2)×180°

n

在正n邊形ABCM…N中，
∠ABC=∠MCB=

(n-2)×180°

n

，AB=BC，
∴∠ABE=∠BCD，
∵

BE=CD ∠ABE=∠BCD AB=BC

，
∴△ABE≌△BCD，
∴∠E=∠D，
∵∠EBF=∠CBD，
∴∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=

(n-2)×180°

n

；

（5）由（1）同理即可得出：∠AFB=∠E+∠EBF=∠D+∠CBD=∠MCB=120°．
故答案為：120°．

點評：此題主要考查了正三角邊形，正四邊形的性質，正五邊形的性質與等邊三角形與相似三角形的性質以及規律問題應用，利用三角形全等得出角之間關系是解題關鍵．