Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，P、Q是△ABC邊上的兩個動點，其中點P從點A開始沿A→B方向運動，且速度為每秒1cm，點Q從點B開始沿B→C→A方向運動，且速度為每秒2cm，它們同時出發，設出發的時間為t秒．
（1）出發2秒后，求PQ的長；
（2）從出發幾秒鐘后，△PQB第一次能形成等腰三角形？
（3）當點Q在邊CA上運動時，求能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間．

Answer 1

【答案】
（1）解：BQ=2×2=4cm，

BP=AB﹣AP=8﹣2×1=6cm，

∵∠B=90°，

PQ= = = =2

（2）解：BQ=2t，

BP=8﹣t

2t=8﹣t，

解得：t=

（3）解：①當CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，

∵∠ABC=90°，

∴∠CBQ+∠ABQ=90°，

∠A+∠C=90°，

∴∠A=∠ABQ，

∴BQ=AQ，

∴CQ=AQ=5，

∴BC+CQ=11，

∴t=11÷2=5.5秒．

②當CQ=BC時（如圖2），則BC+CQ=12

∴t=12÷2=6秒．

③當BC=BQ時（如圖3），過B點作BE⊥AC于點E，

則BE= = ，

所以CE= ，

故CQ=2CE=7.2，

所以BC+CQ=13.2，

∴t=13.2÷2=6.6秒．

由上可知，當t為5.5秒或6秒或6.6秒時，

△BCQ為等腰三角形．

【解析】（1）根據點P、Q的運動速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）設出發t秒鐘后，△PQB能形成等腰三角形，則BP=BQ，由BQ=2t，BP=8﹣t，列式求得t即可；（3）當點Q在邊CA上運動時，能使△BCQ成為等腰三角形的運動時間有三種情況：①當CQ=BQ時（圖1），則∠C=∠CBQ，可證明∠A=∠ABQ，則BQ=AQ，則CQ=AQ，從而求得t；②當CQ=BC時（如圖2），則BC+CQ=12，易求得t；③當BC=BQ時（如圖3），過B點作BE⊥AC于點E，則求出BE，CE，即可得出t．