Question

【題目】如圖，在ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于D，E．

（1）若∠CAE=∠B+30°，求∠B的大小；

（2）若AC=3，AB=5，求△AEB的周長．

Answer 1

【答案】（1）∠B=20°；（2）△AEB的周長=11.25．

【解析】

（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，根據等邊對等角可得∠B=∠BAE，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可得∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，然后在△ACE中，根據直角三角形兩銳角互余列出方程求解即可；

（2）利用勾股定理列式求出BC=4，設AE=BE=x，表示出CE=4﹣x，然后在Rt△ACE中，利用勾股定理列式求出x，再根據三角形的周長的定義列式計算即可得解．

解：（1）∵DE垂直平分AB，

∴AE=BE，

∴∠B=∠BAE，

∴∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B，

在△ACE中，∠CAE+∠CEA=∠B+30°+2∠B=90°，

解得∠B=20°；

（2）由勾股定理得，=4，

設AE=BE=x，則CE=4﹣x，

在Rt△ACE中，AC2+CE2=AE2，

即32+（4﹣x）2=x2，

解得x=，

∴△AEB的周長=×2+5=11.25．