Question

小明在玩一副三角板時發現：含45°角的直角三角板的斜邊可與含30°角的直角三角板的較長直角邊完全重合（如圖①）．即△C′DA′的頂點A′、C′分別與△BAC的頂點A、C重合．現在，他讓△C′DA′固定不動，將△BAC通過變換使斜邊BC經過△C′DA′的直角頂點D．
（1）如圖②，將△BAC繞點C按順時針方向旋轉角度α（0°＜α＜180°），使BC邊經過點D，則α=______°．
（2）如圖③，將△BAC繞點A按逆時針方向旋轉，使BC邊經過點D．試說明：BC∥A′C′．
（3）如圖④，若AB=，將△BAC沿射線A′C′方向平移m個單位長度，使BC邊經過點D，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據α=∠A′C′A=∠DCA′-∠BCA，進而求出答案即可；
（2）根據旋轉的性質得出∠CAC′=∠BAH，進而得出∠CAC′=∠C，即可得出答案；
（3）根據銳角三角函數的關系求出AC，HC以及HC′的長，進而得出答案．
解答：解：（1）如圖②，α=∠A′C′A=45°-30°=15°；
故答案為：15；

（2）如圖③，過點A作AH⊥BC，垂足為H，
∵∠CAC′+∠CAH=∠CAH+∠BAH=90°，
∴∠CAC′=∠BAH，
在Rt△ABC中，
∵AH⊥BC，
∴∠HAC+∠C=90°，
∵∠BAH+∠HAC=90°，
∴∠C=∠BAH，
∴∠CAC′=∠C，
∴BC∥A′C′；

（3）如圖④，過點D作DH⊥AC，垂足為H，
∵AB=，
∴AC=A′C′=×=，
∴HC′=DH=A′C′=，
∴HC=×=，
所以m的值為：HC-HC′=-．
點評：此題主要考查了旋轉的性質以及銳角三角函數的關系等知識，根據已知得出HC以及HC′的長是解題關鍵．