Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，將△ABC繞點A順時針旋轉60°，得到△AED，點B、C的對應點分別是E、D．F為AC的中點，連接BF、DF、BE，DF與EA相交于點G，BE與AC相交于點H．

（1）如圖1，求證：四邊形BFDE為平行四邊形；

（2）如圖2，連接CE，在不添加任何輔助線與字母的情況下，請直接寫出所有與△AEC全等的三角形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△ADE，△ABC，△ADF與△ACE全等，理由見解析

【解析】

（1）由直角三角形的性質可得BF＝BC，由旋轉的性質可得∠ACB＝∠DAF＝60°，CA＝DA，AF＝CB，由“SAS”可證△AFD≌△CBA，可得DF＝AB＝BE，且BF＝DE，即可得四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）由“SAS”可證△BAC≌△EAC，△ACE≌△ADE，可求解．

證明：（1）∵點F是邊AC中點，∠ABC＝90°，

∴BF＝AC，

又∵∠BAC＝30°，

∴BC＝AC，∠ACB＝60°，

∴BF＝BC，

∵將△ABC繞點A順時針旋轉60°，得到△AED，

∴∠BAE＝∠DAC＝60°，CA＝DA，DE＝BC，

∴DE＝BF，△BCF和△BAE為等邊三角形，

∴BE＝AB＝AE，

∴AF=BC，∠CAD＝∠C＝60°，AC＝AD，

∴△AFD≌△CBA（SAS），

∴DF＝AB，

∴DF＝BE，且BF＝DE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形；

（2）△ADE，△ABC，△ADF與△ACE全等；

理由如下：由（1）可得：

∵∠BAE＝60°，∠BAC＝30°，

∴∠BAC＝∠CAE＝30°，且AC＝AC，AB＝AE，

∴△BAC≌△EAC（SAS），

∵∠CAE＝∠DAE＝30°，AC＝AD，AE＝AE，

∴△ACE≌△ADE（SAS），

∵△AFD≌△CBA（已證），

∴△EAC≌△FDA．

故：△ADE，△ABC，△ADF與△ACE全等