Question

【題目】若二次函數的圖像記為，其頂點為，二次函數的圖像記為，其頂點為，且滿足點在上，點在上，則稱這兩個二次函數互為“伴侶二次函數”．

（1）寫出二次函數的一個“伴侶二次函數”；

（2）設二次函數與軸的交點為，求以點為頂點的二次函數的“伴侶二次函數”；

（3）若二次函數與其“伴侶二次函數”的頂點不重合，試求該“伴侶二次函數”的二次項系數.

Answer 1

【答案】（1） ；（2）；（3）-2

【解析】試題分析：（1）根據解析式求得頂點坐標和經過的任意點的坐標，根據“伴侶二次函數”定義，設關系式為y=a（x-2）2+4，代入頂點坐標，即可求得系數a，可得答案；
（2）令x=0，則y=x2-2x+3=3，得到與y軸的交點坐標，然后求得頂點坐標，然后根據“伴侶二次函數”的定義，可求解；
（3）根據“伴侶二次函數”的頂點在對方的圖象上，列出關系式，進而得出ah2=-2h2，可得a=-2．

試題解析：（1）∵y=x2，
∴頂點坐標為（0，0）且經過點（2，4）．
設以（2，4）為頂點且經過（0，0）的拋物線的函數關系式為y=a（x-2）2+4，
將x=0，y=0代入y=a（x-2）2+4，解得a=-1．
∴二次函數y=x2的一個“伴侶二次函數”為y=-（x-2）2+4；
（2）令x=0，則y=x2-2x+3=3，
所以二次函數y=x2-2x+3與y軸的交點P坐標為（0，3）；
∵y=x2-2x+3=（x-1）2+2，
∴頂點坐標為（1，2）．
設以（0，3）為頂點且經過（1，2）的拋物線的函數關系式為y=ax2+3，
將x=1，y=2代入y=ax2+3，解得a=-1．
∴以點P為頂點的二次函數y=x2-2x+3的“伴侶二次函數”為y=-x2+3；
（3）y=2x2-1，其頂點為（0，-1），y=a2（x+h）2+k，其頂點為（-h，k），
∵二次函數y1=a1x2+b1x+c1與其伴侶二次函數y2=a2x2+b2x+c2的頂點不重合，
∴h≠0時k≠-1，
根據“伴侶二次函數”定義可得-1=ah2+k，k=2h2-1，
∴ah2=-2h2
∴a=-2，
∴該“伴侶二次函數”的二次項系數為-2．