Question

【題目】如圖，在中，，，．點從點出發，以每秒5個單位長度的速度沿向終點運動，同時點從點出發，以相同的速度沿向終點運動，過點作于點，連結，以、為鄰邊作矩形，當點運動到終點時，整個運動停止，設矩形與重疊部分圖形的面積為，點的運動時間為秒．

（1）①的長為 ；

②用含的代數式表示線段的長為 ；

（2）當的長度為10時，求的值；

（3）求與的函數關系式；

（4）當過點和點的直線垂直于的一邊時，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）①16；②3t；（2）當的長度為10時，的值為；（3）S＝；（4），

【解析】

（1）①由勾股定理可求解；

②由銳角三角函數可求解；

（2）分兩種情況討論，由QM的長度為10，列出方程可求解；

（3）分兩種情況討論，由面積公式可求解；

（4）分兩種情況討論，由銳角三角函數可求解．

（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，

∴BC＝＝＝16，

故答案為：16；

②∵sinB＝，

∴，

∴PQ＝3t，

故答案為：3t；

（2）當時，可列，，符合題意

當時，可列，，不符合題意，故舍去．

綜上，當的長度為10時，的值為．

（3）如圖1，當時，．

如圖2，當時，

．

（4）如圖，若NQ⊥AC，

∴NQ∥BC，

∴∠B＝∠MQN，

∴tanB＝tan∠MQN，

∴，

∴＝，

∴t＝，

如圖，若NQ⊥BC，

∴NQ∥AC，

∴∠A＝∠BQN，

∴tanA＝tan∠BQN，

∴，

∴，

∴t＝

綜上所述：當t＝或時，過點Q和點N的直線垂直于Rt△ABC的一邊．