Question

已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，將三角板中的90°角的頂點繞D點在△ABC內旋轉，角的兩邊分別與AB、AC交于E、F，且點E、F不與A、B、C三點重合．
（1）如果∠A=90°，求證：DE=DF；
（2）如果DF∥AB，則結論：“四邊形AEDF為直角梯形”是否正確？若正確，請證明；若不正確，請畫出草圖舉反例．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據等腰三角形三線合一的性質以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質可得AD⊥BC，AD=DC，再根據同角的余角相等求出∠ADE=∠CDF，然后利用“角邊角”證明△ADE和△CDF全等，根據全等三角形對應邊相等即可得證；
（2）不成立，根據平行線的性質求出∠AED=90°，然后證明四邊形ADEF是矩形，所以不是梯形．

解答：（1）證明：如圖1，連接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是BC的中點，
∴AD⊥BC，AD=DC，
∴∠EAD=∠C=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠ADF=90°，∠CDF+∠ADF=90°，
∴∠ADE=∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
∵

∠EAD=∠C=45° AD=CD ∠ADE=∠CDF

，
∴△ADE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF；

（2）解：結論不成立．
反例如下：如圖2，取∠A=90°時，四邊形ADEF是矩形，不是直角梯形．
∵DF∥AB，∠EDF=90°，
∴∠AED=180°-90°=90°，
所以，當∠A=90°時，四邊形ADEF是矩形，不是直角梯形．

點評：本題考查了等腰直角三角形的性質，等腰三角形三線合一的性質，全等三角形的判定與性質，直角梯形的判定，作出輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．