Question

【題目】如圖，在中，，過點的直線，為邊上一點，過點作，交直線于點，垂足為，連接，．

（1）求證：；

（2）當為的中點時，四邊形是什么特殊四邊形？請說明你的理由；

（3）若為的中點，則當的大小滿足什么條件時，四邊形是正方形？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3)見解析.

【解析】

（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；

（2）由AD=BD，AD=CE，得到BD=CE，利用MN∥AB，得到四邊形BECD是平行四邊形，然后根據，即可得到四邊形BECD是菱形；

（3）根據∠A=45°，∠ACB=90°，則得到∠ABC=∠A=45°，從而得到AC=BC，即△ABC是等腰直角三角形，由D是AB中點，得到CD⊥AB，即可得到四邊形BECD是正方形．

證明：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，即，

∴四邊形是平行四邊形，

∴．

（2）四邊形是菱形．理由如下：

∵為的中點，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴四邊形是平行四邊形．

又∵，

∴四邊形是菱形．

（3）當時，四邊形是正方形，理由如下：

∵，，

∴，

∴，

又∵為的中點，

∴，

∴，

由（2）知四邊形是菱形，

∴四邊形是正方形．