Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，C=90°，BD是角平分線，點O在AB上，以點O為圓心，OB為半徑的圓經過點D，交BC于點E．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OB=10，CD=8，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，如圖，

∵BD為∠ABC平分線，

∴∠1=∠2，

∵OB=OD，

∴∠1=∠3，

∴∠2=∠3，

∴OD∥BC，

∵∠C=90°，

∴∠ODA=90°，

∴AC是⊙O的切線

（2）解：過O作OG⊥BC，連接OE，

則四邊形ODCG為矩形，

∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，

在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，

∵OG⊥BC，∠C=90°，

∴OG∥AC，

∴△BOG∽△BAC，

∴ ，即 = ，

∴AD= ．

【解析】（1）連接OD，由BD為角平分線得到一對角相等，再根據等腰三角形的性質得出一對內錯角相等，進而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直角，即可得證；（2）過O作OG垂直于BE，可得出四邊形ODCG為矩形，利用勾股定理求出BG的長，根據相似三角形的性質即可得到結論．