Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O外一點，且∠CAB＝90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．

（1）請說明：CD是⊙O的切線：

（2）若AB＝4，BC＝2．則陰影部分的面積為　 　

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OD，易證△CAO≌△CDO（SAS），由全等三角形的性質可得∠CDO=∠CAO=90°，即CD⊥OD，進而可證明CD是⊙O的切線；

（2）過點O作OE⊥BD，垂足為E，首先利用勾股定理可求出AC，OC的長，證得△OBD是等邊三角形，根據扇形和三角形的面積公式即可得到結論．

（1）證明：如圖，連接OD，

∵BD∥CO，

∴∠DBO＝∠COA，∠ODB＝∠COD，

在⊙O中，OB＝OD，

∴∠DBO＝∠ODB，

∴∠COA＝∠COD，

在△CAO和△CDO中， ，

∴△CAO≌△CDO（SAS）．，

∴∠CDO＝∠CAO＝90°，

即 CD⊥OD，

又∵OD是⊙O的半徑，

∴CD是⊙O的切線；

（2）如圖，過點O作OE⊥BD，垂足為E．

在Rt△ABC中，AC＝，

∴OC＝＝4，

∴∠AOC＝60°，

∵△CAO≌△CDO，

∴∠COD＝∠COA＝60°，

∴∠BOD＝60°，

∴△BOD是等邊三角形，

∴BD＝OD＝2，OE＝，

∴陰影部分的面積＝S扇形BOD﹣S△BOD＝﹣×2×＝π﹣．

故答案為：π﹣．