Question

【題目】已知，如圖，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D為AB邊上一點．

（1）求證：△ACE≌△BCD；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）本題要判定△ACE≌△BCD，已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，則DC=EA，AC=BC，∠ACB=∠ECD，又因為兩角有一個公共的角∠ACD，所以∠BCD=∠ACE，根據SAS得出△ACE≌△BCD．

（2）由（1）的論證結果得出∠DAE=90°，AE=DB，從而求出AD2+DB2=DE2，即2CD2=AD2+DB2．

試題解析：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC=BC，CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，在△ACE和△BCD中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD ，CD=CE，∴△AEC≌△BDC（SAS）；

（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45度．∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°，∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴．

由（1）知AE=DB，∴，即．