Question

【題目】已知：點、、不在同一條直線上，.

（1）如圖1，當，時，求的度數；

（2）如圖2，、分別為、的平分線所在直線，試探究與的數量關系；

（3）如圖3，在（2）的前提下，有，，直接寫出的值.

Answer 1

【答案】(1)∠ACB＝120°；(2)2∠AQB+∠C＝180°；(3)∠DAC：∠ACB：∠CBE＝1：2：2．

【解析】

（1）首先過C作AD的平行線CE，再根據平行的性質計算即可.

（2）首先過點Q作QM∥AD，再根據已知平行線的性質即可，計算的2∠AQB+∠C＝180°.

（3）根據平行線的性質和角平分線的性質首先計算出∠DAC、∠ACB、∠CBE，再根據角的度數求比值.

(1)在圖①中，過點C作CF∥AD，則CF∥BE．

∵CF∥AD∥BE，

∴∠ACF＝∠A，∠BCF＝180°﹣∠B，

∴∠ACB＝∠ACF+∠BCF＝180°﹣(∠B﹣∠A)＝120°．

(2)在圖2中，過點Q作QM∥AD，則QM∥BE．

∵QM∥AD，QM∥BE，

∴∠AQM＝∠NAD，∠BQM＝∠EBQ．

∵AQ平分∠CAD，BQ平分∠CBE，

∴∠NAD＝∠CAD，∠EBQ＝∠CBE，

∴∠AQB＝∠BQM﹣∠AQM＝(∠CBE﹣∠CAD)．

∵∠C＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝180°﹣2∠AQB，

∴2∠AQB+∠C＝180°．

(3)∵AC∥QB，

∴∠AQB＝∠CAP＝∠CAD，∠ACP＝∠PBQ＝∠CBE，

∴∠ACB＝180°﹣∠ACP＝180°﹣∠CBE．

∵2∠AQB+∠ACB＝180°，

∴∠CAD＝∠CBE．

又∵QP⊥PB，

∴∠CAP+∠ACP＝90°，即∠CAD+∠CBE＝180°，

∴∠CAD＝60°，∠CBE＝120°，

∴∠ACB＝180°﹣(∠CBE﹣∠CAD)＝120°，

∴∠DAC：∠ACB：∠CBE＝60°：120°：120°＝1：2：2．