Question

點(diǎn)E為正方形ABCD的對(duì)角線上一點(diǎn)，連接DE，BE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)F，DE⊥EG交BC于G，下列結(jié)論：
①△BEC≌△DEC；②∠BED=120°時(shí)，EF平分∠AED；③EG=ED；④BG=

2

AE；⑤當(dāng)點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)時(shí)，DF=2AF．
其中正確的有：______．

Answer 1

∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD，∠BCE=∠DCE=45°，
在△BEC和△DEC中DCE，
∵

CB=CD ∠BCE=∠DCE CE=CE

，
∴△BEC≌△DEC（SAS），故①正確；

∴∠BEC=∠DEC，
當(dāng)∠BED=120°時(shí)，∠DEC=

1

2

×120°=60°，
∠DEF=180°-∠BED=180°-120°=60°，
所以，∠AEF=180°-∠DEF-∠DEC=180°-60°-60°=60°，
所以，∠AEF=∠DEF，
即EF平分∠AED，故②正確；

如圖，過(guò)E作MN∥AB交正方形于M、N，PQ∥AD交正方形于P、Q，
則四邊形EMCP、四邊形AQEN都為正方形，
∵EG⊥DE，
∴∠DEP+∠PCG=90°，
又∵∠GEN+∠PCG=90°，
∴∠DEP=∠GEM，
在△DEP和△GEM中，
∵

∠DEP=∠GEM EP=EM ∠EMG=∠EPD=90°

，
∴△DEP≌△GEM（ASA），
∴EG=ED，故③正確；

∵△BEC≌△DEC，
∴ED=EB，
∴EB=EG，
∵EM⊥BG，
∴BG=2BM，
∵BM=AN，
又∵AN=

2

2

AE，
∴BG=2×

2

2

AE=

2

AE，故④正確；

當(dāng)點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)正方形AQEN的邊長(zhǎng)為x，
則BG=2BM=2x，BC=2BG=4x，
∴AB=BC=4x，
由MN∥AB得，△ABF∽△NEF，
∴

NE

AB

=

NF

AF

，
即

x

4x

=

AF-x

AF

，
解得AF=

4

3

x，
所以，DF=4x-

4

3

x=

8

3

x，
∴DF=2AF，故⑤正確，
綜上所述，正確的有①②③④⑤．
故答案為：①②③④⑤．