Question

【題目】如圖，已知△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點F在⊙O上，且滿足，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E點．

（1）求證：AE⊥DE；

（2）若∠CBA＝60°，AE＝3，求AF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AF＝2

【解析】

(1)首先連接OC，由OC=OA，=，易證得OC∥AE，又由DE切⊙O于點C，易證得AE⊥DE；

(2)由AB是⊙O的直徑，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC為直角三角形，根據AE=3求得AC的長，然后連接OF，可得△OAF為等邊三角形，知AF=OA=AB，在△ACB中，利用已知條件求得答案．

（1）證明：連接OC，

∵OC＝OA，

∴∠BAC＝∠OCA，

∵=，

∴∠BAC＝∠EAC，

∴∠EAC＝∠OCA，

∴OC∥AE，

∵DE切⊙O于點C，

∴OC⊥DE，

∴AE⊥DE；

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴△ABC是直角三角形，

∵∠CBA＝60°，

∴∠BAC＝∠EAC＝30°，

∵△AEC為直角三角形，AE＝3，

∴AC＝2，

連接OF，

∵OF＝OA，∠OAF＝∠BAC+∠EAC＝60°，

∴△OAF為等邊三角形，

∴AF＝OA＝AB，

在Rt△ACB中，AC＝2，∠CBA＝60°，

∴AB＝＝＝4，

∴AF＝2．

故答案為：(1)證明見解析；(2)2.