Question

【題目】定義：我們知道，四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似(不全等)，我們就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．

(1)如圖1，已知四邊形在正方形網格中，頂點都在格點上，判斷：四邊形______(填“是”或“不是”)以為“相似對角線”的四邊形；

(2)如圖，在四邊形中，，，對角線平分．求證：是四邊形的“相似對角線”；

(3)如圖，已知是四邊形的“相似對角線”，．連接，若的面積為，求的長．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）見解析；（3）4．

【解析】

（1）先根據勾股定理計算出AB，BC的長，再得出，結合∠ABC=∠ACD=90°，可得出△ABC∽△ACD，從而可得出結果；

（2）先判斷出∠A+∠ADB=140°=∠ADC，從而可得出∠A=∠BDC，證明△ABD∽△DBC即可得出結論；
（3）由已知可知△FEH∽△FHG，得出FH2=FEFG；過點E作EQ⊥FG于Q，繼而得出EQ=FE，再結合的面積為求出FGFE=16，從而可得出結論．

（1）解：根據勾股定理得，

AB=，BC=，

又AC=5，∴AB2+BC2=AC2，∴∠ABC=90°=∠ACD，

∴，

∴，

∴△ABC∽△ACD，

∴四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形．

故答案為：是；

（2）證明：如圖2中，
∵∠ABC=80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=40°，
∴∠A+∠ADB=140°
∵∠ADC=140°，
∴∠BDC+∠ADB=140°，
∴∠A=∠BDC，
∴△ABD∽△DBC，
∴BD是四邊形ABCD的“相似對角線”；
（3）解：如圖3，
∵FH是四邊形EFGH的“相似對角線”，
∴△EFH與△HFG相似，
∵∠EFH=∠HFG，
∴△FEH∽△FHG，，

∴FH2=FEFG，
過點E作EQ⊥FG于Q，

∵=30°，∴∠EFG=60°，
∴EQ=FEsin60°=FE，

，

∴，

∴FGFE=16，
∴FH2=FEFG=16，
∴FH=4．