Question

【題目】在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，且AC=16cm，BD=12cm；點P從點A出發，沿AD方向勻速運動，速度為2cm/s；點Q從點C出發，沿CO方向勻速運動，速度為1cm/s；若P、Q兩點同時出發，當一個點停止運動時，另一個點也停止運動．過點Q作MQ∥BC，交BD于點M，設運動時間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：

（1）求t為何值時，線段AQ、線段PM互相平分．
（2）設四邊形APQM的面積為Scm2 ， 求S關于t的函數關系式；設菱形ABCD的面積為SABCD ， 求是否存在一個時刻t，使S：SABCD=2：5？如果存在，求出t，如果不存在，請說明理由．
（3）求時刻t，使得以M、P、Q為頂點的三角形是直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1中，連接PM．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC=8，OB=OD=6，AB∥BC，

∵QM∥BC，

∴AP∥QM，

當PA=QM時，四邊形AMQP是平行四邊形，此時AQ與PM互相平分．

在Rt△BOC中，BC= =10，

∵ = ，

∴ = ，

∴QM= （8﹣t），

∵PA=QM，

∴2t= （8﹣t），

∴t= ，

∴當t= 時，AQ與PM相互平分

（2）解：不存在．理由如下：

如圖2中，作QH⊥AD于H，

∵△AOD∽△AHQ，

∴ = ，

∴ = ，

∴QH= （16﹣t），

∴S= [2t+ （8﹣t）] （16﹣t）=﹣ t2+ t+48，

∵S：SABCD=2：5，

∴ [2t+ （8﹣t）] （16﹣t）： ×16×12=2：5，

整理得3t2﹣8t﹣128=0

∴t=8或﹣ ，

∵0＜t＜5，

∴t=8或﹣ 都不符合題意

（3）解：①如圖3中，當∠PMQ=90°時，

∵△MPD∽△AOD，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ．

②如圖4中，當PQ⊥MQ時，

∵△APQ∽△AOD，

∴ = ，

∴ = ，

∴t= ，

綜上所述，當t= s或 s時，△PQM是直角三角形

【解析】（1）當AP=QM時，列出方程即可解決問題；
（2）不存在．理由如下：如圖2中，作QH⊥AD于H，由△AOD∽△AHQ，可得=,L列出關于t的方程，根據梯形的面積公式計算即可；
（3）分兩種情形①如圖3中，當∠PMQ=90°時，②如圖4中，當PQ⊥MQ時，分別利用相似三角形的性質，列出方程即可解決問題。

【考點精析】通過靈活運用勾股定理的概念和梯形的定義，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形是梯形．兩腰相等的梯形是等腰梯形即可以解答此題．