Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，過點O作OE⊥BC于H交⊙O于E，在OE的延長線上取一點D，使∠ODB=∠AEC，AE與BC交于F．
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并給出證明；
（2）當⊙O的半徑是5，BF=2 ，EF= 時，求CE及BH的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：BD是⊙O的切線；理由如下：

∵∠AEC與∠ABC都對 ，

∴∠AEC=∠ABC，

∵∠ODB=∠AEC，

∴∠ABC=∠ODB，

在Rt△BDF中，∠ODB+∠DBF=90°，

∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，

∴BD⊥OB，

∴BD是⊙O的切線

（2）解：∵∠A=∠C，∠ABF=∠CEF，

∴△CEF∽△ABF，

∴ = ，即 ，

解得：CE= ；

連接BE，如圖所示：

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴BE= = ，

∴AE= = ，

∴AF=AE﹣EF= ﹣ = ，

∴ = ，

解得：CF= ，

∴BC=BF+CF= ，

∵OE⊥BC，

∴BH=CH= BC= ．

【解析】（1）由同弧所對的圓周角相等得到∠AEC=∠ABC，再由已知∠ODB=∠AEC，等量代換得到∠ABC=∠ODB，在直角三角形BDF中，利用直角三角形兩銳角互余得到一對角互余，等量代換得到∠OBD為直角，即可得到BD是圓O的切線；（2）證明△CEF∽△ABF，得出對應邊成比例求出CE，由勾股定理求出BE和AE，得出AF，求出CF，得出BC的長，由垂徑定理得出BH的長．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解勾股定理的概念的相關知識，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對垂徑定理的理解，了解垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．