Question

【題目】如圖（1），，，垂足分別為、，．點在線段上以的速度由點向點運動，同時點在射線上運動．它們運動的時間為（當點運動結束時，點運動隨之結束）．

（1）若點的運動速度與點的運動速度相等，當時，與是否全等，并判斷此時線段和線段的位置關系，請分別說明理由；

（2）如圖（2），若“，”改為“”，點的運動速度為，其它條件不變，當點、運動到何處時有與全等，求出相應的的值．

Answer 1

【答案】（1）全等，PC⊥PQ，理由見解析；（2）2或

【解析】

（1）利用SAS證得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，進一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出結論即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分兩種情況：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程組求得答案即可．

解：如圖：

（1）△ACP≌△BPQ；

理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB

∴∠A＝∠B＝90°

∵AP＝BQ＝2，

∴BP＝5，

∴BP＝AC，

∴△ACP≌△BPQ；

∴∠C＝∠BPQ，

∵∠C+∠APC＝90°，

∴∠APC+∠BPQ＝90°，

∴∠CPQ＝90°，

∴PC⊥PQ；

（2）有兩種情況；

①若△ACP≌△BPQ，

則AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7－2t，2t＝xt

解得：x＝2，t＝1；

②若△ACP≌△BQP，

則AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7－2t

解得：x＝，t＝．

綜上所述，當△ACP與△BPQ全等時，x的值為2或．