Question

【題目】我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數的圓稱為“整圓”．如圖，直線l：y=kx+4 與x軸、y軸分別交于A、B，∠OAB=30°，點P在x軸上，⊙P與l相切，當P在線段OA上運動時，使得⊙P成為整圓的點P個數是（ ）
A.6
B.8
C.10
D.12

Answer 1

【答案】A
【解析】解：∵直線l：y=kx+4 與x軸、y軸分別交于A、B， ∴B（0，4 ），
∴OB=4 ，
在RT△AOB中，∠OAB=30°，
∴OA= OB= × =12，
∵⊙P與l相切，設切點為M，連接PM，則PM⊥AB，
∴PM= PA，
設P（x，0），
∴PA=12﹣x，
∴⊙P的半徑PM= PA=6﹣ x，
∵x為整數，PM為整數，
∴x可以取0，2，4，6，8，10，6個數，
∴使得⊙P成為整圓的點P個數是6．
故選：A．

根據直線的解析式求得OB=4 ，進而求得OA=12，根據切線的性質求得PM⊥AB，根據∠OAB=30°，求得PM= PA，然后根據“整圓”的定義，即可求得使得⊙P成為整圓的點P的坐標，從而求得點P個數．