Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），與x軸交于點A、與y軸交于點B，直線CD與x軸交于點C、與y軸交于點D．若直線CD的解析式為y＝﹣（x+b），則稱直線CD為直線AB的”姊線”，經過點A、B、C的拋物線稱為直線AB的“母線”．

（1）若直線AB的解析式為：y＝﹣3x+6，求AB的”姊線”CD的解析式為：　 　（直接填空）；

（2）若直線AB的”母線”解析式為：，求AB的”姊線”CD的解析式；

（3）如圖2，在（2）的條件下，點P為第二象限”母線”上的動點，連接OP，交”姊線”CD于點Q，設點P的橫坐標為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的函數關系式，并求y的最大值；

（4）如圖3，若AB的解析式為：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊線”為CD，點G為AB的中點，點H為CD的中點，連接OH，若GH＝，請直接寫出AB的”母線”的函數解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）當m＝﹣，y最大值為；（4）y＝x2﹣2x﹣3．

【解析】

（1）由k，b的值以及”姊線”的定義即可求解；

（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得點A、B、C的坐標，從而求得直線CD的表達式；

（3）設點P的橫坐標為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，

從而求得直線OP的表達式，將直線OP和CD表達式聯立并解得點Q坐標，

由此求得，從而求得y＝﹣m2﹣m+3，故當m＝﹣，y最大值為；

（4）由直線AB的解析式可得AB的“姊線”CD的表達式y＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得點C、D的坐標，由此可得點H坐標，同理可得點G坐標，

由勾股定理得：m值，即可求得點A、B、C的坐標，從而得到 “母線”函數的表達式．

（1）由題意得：k＝﹣3，b＝6，

則答案為：y＝（x+6）；

（2）令x＝0，則y＝4，令y＝0，則x＝2或﹣4，

點A、B、C的坐標分別為（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），

則直線CD的表達式為：y＝（x+4）＝x+2；

（3）設點P的橫坐標為m，則點P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，

則直線OP的表達式為：y＝x，

將直線OP和CD表達式聯立得，

解得：點Q（，）

則＝﹣m2﹣m+4，

y＝＝﹣m2﹣m+3，

當m＝﹣，y最大值為；

（4）直線CD的表達式為：y＝﹣（x+3），

令x＝0，則y＝﹣，令y＝0，則x＝﹣3，

故點C、D的坐標為（﹣3，0）、（0，﹣），則點H（﹣，﹣），

同理可得：點G（﹣，），

則GH2＝（+）2+（﹣）2＝（）2，

解得：m＝﹣3（正值已舍去），

則點A、B、C的坐標分別為（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），

則“母線”函數的表達式為：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），

即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，

故：“母線”函數的表達式為：y＝x2﹣2x﹣3．