Question

（2013•濟寧三模）如圖，已知直線y=kx-6與拋物線y=ax²+bx+c相交于A，B兩點，且點A（1，-4）為拋物線的頂點，點B在x軸上．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P，使△POB與△POC全等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是y軸上一點，且△ABQ為直角三角形，求點Q的坐標．

Answer 1

分析：（1）已知點A坐標可確定直線AB的解析式，進一步能求出點B的坐標．點A是拋物線的頂點，那么可以將拋物線的解析式設為頂點式，再代入點B的坐標，依據待定系數法可解．
（2）首先由拋物線的解析式求出點C的坐標，在△POB和△POC中，已知的條件是公共邊OP，若OB與OC不相等，那么這兩個三角形不能構成全等三角形；若OB等于OC，那么還要滿足的條件為：∠POC=∠POB，各自去掉一個直角后容易發現，點P正好在第二象限的角平分線上，聯立直線y=-x與拋物線的解析式，直接求交點坐標即可，同時還要注意點P在第二象限的限定條件．
（3）分別以A、B、Q為直角頂點，分類進行討論．找出相關的相似三角形，依據對應線段成比例進行求解即可．

解答：解：（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，
∴y=2x-6，
令y=0，解得：x=3，
∴B的坐標是（3，0）．
∵A為頂點，
∴設拋物線的解析為y=a（x-1）²-4，
把B（3，0）代入得：4a-4=0，
解得a=1，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3．

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴當∠POB=∠POC時，△POB≌△POC，
此時PO平分第二象限，即PO的解析式為y=-x．
設P（m，-m），則-m=m²-2m-3，解得m=

1- 13

2

（m=

1+ 13

2

＞0，舍），
∴P（

1- 13

2

，

13 -1

2

）．

（3）①如圖，當∠Q₁AB=90°時，△DAQ₁∽△DOB，
∴

AD

OD

=

DQ1

DB

，即

5

6

=

DQ1

3 5

，∴DQ₁=

5

2

，
∴OQ₁=

7

2

，即Q₁（0，-

7

2

）；
②如圖，當∠Q₂BA=90°時，△BOQ₂∽△DOB，
∴

OB

OD

=

OQ2

OB

，即

3

6

=

OQ2

3

，
∴OQ₂=

3

2

，即Q₂（0，

3

2

）；
③如圖，當∠AQ₃B=90°時，作AE⊥y軸于E，
則△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴

OB

Q3E

=

OQ3

AE

，即

3

4-OQ3

=

OQ3

1

，
∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，∴OQ₃=1或3，
即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．
綜上，Q點坐標為（0，-

7

2

）或（0，

3

2

）或（0，-1）或（0，-3）．

點評：本題主要考查了利用待定系數法求函數解析式的方法、直角三角形的判定、全等三角形與相似三角形應用等重點知識．（3）題較為復雜，需要考慮的情況也較多，因此要分類進行討論．