Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦DE垂直平分半徑OA，C為垂足，DE=3，連接BD，過點E作EM∥BD，交BA的延長線于點M．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：EM是⊙O的切線；
（3）若弦DF與直徑AB相交于點P，當∠APD=45°時，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

（1）連接OE．
∵DE垂直平分半徑OA，
∴OC=

1

2

OA
∵OA=OE，
∴OC=

1

2

OE，CE=

1

2

DE=

3

2

，
∴∠OEC=30°，
∴OE=

EC

cos30°

=

3 2

3 2

=

3

；

（2）證明：由（1）知：∠AOE=60°，

AE

=

AD

，
∴∠B=

1

2

∠AOE=30°，
∴∠BDE=60°
∵BD∥ME，
∴∠MED=∠BDE=60°，
∴∠MEO=∠MED+∠OEC=60°+30°=90°，
∴OE⊥EM，
∴EM是⊙O的切線；

（3）連接OF．
∵∠DPA=45°，
∵∠DCB=90°，
∴∠CDP=45°，
∴∠EOF=2∠EDF=90°，
∴S_陰影=S_扇形EOF-S_△EOF=

90π×( 3 )2

360

-

1

2

×

3

×

3

=

3

4

π-

3

2

．