Question

【題目】如圖所示，在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，O是AB的中點，⊙O與AC、BC分別相切于點D、E，點F是⊙O與AB的一個交點，連接DF并延長交CB的延長線于點G，則BG的長是 ．

Answer 1

【答案】2 ﹣2
【解析】解：連接OD．

∵AC為圓O的切線，∴OD⊥AC，

又∵AC=BC=4，∠C=90°，

∴∠A=45°，

根據勾股定理得：AB= =4 ，

又∵O為AB的中點，

∴AO=BO= AB=2 ，

∴圓的半徑DO=FO=AOsinA=2 × =2，

∴BF=OB﹣OF=2 ﹣2．

∵GC⊥AC，OD⊥AC，

∴OD∥CG，

∴∠ODF=∠G，

又∵∠OFD=∠BFG，

∴△ODF∽△BGF，

∴ = ，即 = ，

∴BG=2 ﹣2．

所以答案是：2 ﹣2．

【考點精析】關于本題考查的切線的性質定理和相似三角形的判定與性質，需要了解切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．