Question

【題目】如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，有直角∠MPN，使直角頂點P與點O重合，直角邊PM、PN分別與OA、OB重合，然后逆時針旋轉∠MPN，旋轉角為θ（0°＜θ＜90°），PM、PN分別交AB、BC于E、F兩點，連接EF交OB于點G，則下列結論中正確的是 ．
（1）EF= OE；（2）S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；（3）BE+BF= OA；（4）在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）
【解析】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOF+∠COE=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，
，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴EF= OE；故正確；
（2）∵S四邊形OEBF=S△BOE+S△BOE=S△BOE+S△COF=S△BOC= S正方形ABCD ，
∴S四邊形OEBF：S正方形ABCD=1：4；故正確；
（3）∴BE+BF=BF+CF=BC= OA；故正確；
（4）過點O作OH⊥BC，
∵BC=1，
∴OH= BC= ，
設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，
∴S△BEF+S△COF= BEBF+ CFOH= x（1﹣x）+ （1﹣x）× =﹣ （x﹣ ）2+ ，
∵a=﹣ ＜0，
∴當x= 時，S△BEF+S△COF最大；
即在旋轉過程中，當△BEF與△COF的面積之和最大時，AE= ；故錯誤；
故答案為（1）（2）（3）．

（1）由四邊形ABCD是正方形，直角∠MPN，易證得△BOE≌△COF（ASA），則可證得結論；（2）由（1）易證得S四邊形OEBF=S△BOC= S正方形ABCD ， 則可證得結論；（3）由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性質，證得BE+BF= OA；（4）首先設AE=x，則BE=CF=1﹣x，BF=x，繼而表示出△BEF與△COF的面積之和，然后利用二次函數的最值問題，求得答案；