Question

【題目】如圖，OF是∠MON的平分線，點A在射線OM上，P，Q是直線ON上的兩動點，點Q在點P的右側，且PQ=OA，作線段OQ的垂直平分線，分別交直線OF、ON交于點B、點C，連接AB、PB．

（1）如圖1，當P、Q兩點都在射線ON上時，請直接寫出線段AB與PB的數量關系；

（2）如圖2，當P、Q兩點都在射線ON的反向延長線上時，線段AB，PB是否還存在（1）中的數量關系？若存在，請寫出證明過程；若不存在，請說明理由；

（3）如圖3，∠MON=60°，連接AP，設=k，當P和Q兩點都在射線ON上移動時，k是否存在最小值？若存在，請直接寫出k的最小值；若不存在，請說明理由．

【答案】（1）AB=PB；（2）存在；（3）k=0.5．

【解析】試題分析：（1）結論：AB=PB．連接BQ，只要證明△AOB≌△PQB即可解決問題；

（2）存在．證明方法類似（1）；

（3）連接BQ．只要證明△ABP∽△OBQ，即可推出=，由∠AOB=30°，推出當BA⊥OM時， 的值最小，最小值為0.5，由此即可解決問題；

試題解析：解：（1）連接：AB=PB．理由：如圖1中，連接BQ．

∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∴∠AOB=∠BQO，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．

（2）存在，理由：如圖2中，連接BQ．

∵BC垂直平分OQ，∴BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO，∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，∴∠AOF=∠FON=∠BQC，∴∠BQP=∠AOB，∵OA=PQ，∴△AOB≌△PQB，∴AB=PB．

（3）連接BQ．

易證△ABO≌△PBQ，∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，∵∠OPB+∠BPQ=180°，∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，∵∠MON=60°，∴∠ABP=120°，∵BA=BP，∴∠BAP=∠BPA=30°，∵BO=BQ，∴∠BOQ=∠BQO=30°，∴△ABP∽△OBQ，∴ =，∵∠AOB=30°，∴當BA⊥OM時， 的值最小，最小值為0.5，∴k=0.5．

點睛：本題考查相似綜合題、全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學會用轉化的思想思考問題，屬于中考常考題型．

【題型】解答題
【結束】
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【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直線l：y=﹣x﹣4與x軸交于點D，點P是拋物線y=ax2+x+c上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于點F．

（1）試求該拋物線表達式；

（2）如圖（1），若點P在第三象限，四邊形PCOF是平行四邊形，求P點的坐標；

（3）如圖（2），過點P作PH⊥y軸，垂足為H，連接AC．

①求證：△ACD是直角三角形；

②試問當P點橫坐標為何值時，使得以點P、C、H為頂點的三角形與△ACD相似？

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x﹣4；（2）點P的坐標為（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）；（3）點P的橫坐標為﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18時，使得以點P、C、H為頂點的三角形與△ACD相似．

【解析】試題分析：（1）利用待定系數法列方程求解析式.(2)把P，F點坐標用m表示寫出來，利用四邊形PCOF是平行四邊形得到m值，求得P點坐標.(3) ①由兩點間的距離公式可知分別計算AC，CD，AD勾股定理逆定理知三角形是直角三角形；②分類討論，△ACD∽△CHP，△ACD∽△PHC分別計算P點坐標.

試題解析：

解：（1）由題意得： ，解得： ，

∴拋物線的表達式為y=x2+x﹣4．

（2）設P（m， m2+m﹣4），則F（m，﹣m﹣4）．

∴PF=（﹣m﹣4）﹣（m2+m﹣4）=﹣m2﹣m．

∵PE⊥x軸，

∴PF∥OC．

∴PF=OC時，四邊形PCOF是平行四邊形．

∴﹣m2﹣m=4，解得：m=﹣或m=﹣8．

當m=﹣時， m2+m﹣4=﹣，

當m=﹣8時， m2+m﹣4=﹣4．

∴點P的坐標為（﹣，﹣）或（﹣8，﹣4）．

（3）①證明：把y=0代入y=﹣x﹣4得：﹣x﹣4=0，解得：x=﹣8．

∴D（﹣8，0）．

∴OD=8．

∵A（2，0），C（0，﹣4），

∴AD=2﹣（﹣8）=10．

由兩點間的距離公式可知：AC2=22+42=20，DC2=82+42=80，AD2=100，

∴AC2+CD2=AD2．

∴△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°．

②由①得∠ACD=90°．

當△ACD∽△CHP時， ，即，

解得：n=0（舍去）或n=﹣5.5或n=﹣10.5．

當△ACD∽△PHC時， ，即，

解得：n=0（舍去）或n=2或n=﹣18．

綜上所述，點P的橫坐標為﹣5.5或﹣10.5或2或﹣18時，使得以點P、C、H為頂點的三角形與△ACD相似．