Question

【題目】如圖，點P是正方形ABCD內一點，點P到點A、B和D的距離分別為1，，，△ADP沿點A旋轉至△ABP′，連結PP′，并延長AP與BC相交于點Q．

（1）求證：△APP′是等腰直角三角形；

（2）求∠BPQ的大小；

（3）求CQ的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）45°；（3）．

【解析】

（1）根據旋轉的性質可知，△APD≌△AP′B，所以AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，因為∠PAD+∠PAB=90°，所以∠P′AB+∠PAB=90°，即∠PAP′=90°，故△APP′是等腰直角三角形；

（2）根據勾股定理逆定理可判斷△PP′B是直角三角形，再根據平角定義求出結果；

（3）作BE⊥AQ，垂足為E，由∠BPQ=45°，P′B=，求出PE=BE=2，在Rt△ABE中，運用勾股定理求出AB，再由cos∠EAB=cos∠EBQ，求出BQ，則CQ=BC﹣BQ．

解：（1）∵△ADP沿點A旋轉至△ABP′，

∴根據旋轉的性質可知，△APD≌△AP′B，

∴AP=AP′，∠PAD=∠P′AB，

∵∠PAD+∠PAB=90°，

∴∠P′AB+∠PAB=90°，

即∠PAP′=90°，

∴△APP′是等腰直角三角形；

（2）由（1）知∠PAP′=90°，AP=AP′=1，

∴PP′=，

∵P′B=PD=，PB=，

∴，

∴∠P′PB=90°，

∵△APP′是等腰直角三角形，

∴∠APP′=45°，

∴∠BPQ=180°﹣90°﹣45°=45°；

（3）作BE⊥AQ，垂足為E，

∵∠BPQ=45°，PB=，

∴PE=BE=2，

∴AE=2+1=3，

∴AB==，BE==2，

∵∠EBQ=∠EAB，cos∠EAB=，

∴cos∠EBQ==，

∴，

∴BQ=，

∴CQ==．