Question

【題目】如圖1，在△ABC中，按如下步驟作圖：①以點A為圓心，AB長為半徑畫弧；②以點C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩弧相交于點D；③連結BD，與AC交于點E，連結AD，CD．

（1）填空：△ABC≌△ ；AC和BD的位置關系是

（2）如圖2，當AB=BC時，猜想四邊形ABCD是什么四邊形，并證明你的結論．

（3）在（2）的條件下，若AC=8cm，BD=6cm，則點B到AD的距離是 cm，若將四邊形ABCD通過割補，拼成一個正方形，那么這個正方形的邊長為 cm．

Answer 1

【答案】（1）ADC（SSS），AC⊥BD；（2）四邊形ABCD是菱形，見解析；（3），2.

【解析】

（1）根據作法和三角形全等的判定方法解答，再根據到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上可得AC⊥BD；

（2）根據四條邊都相等的四邊形是菱形證明；

（3）設點B到AD的距離為h，然后根據菱形的面積等于底邊×高和菱形的面積等于對角線乘積的一半列方程求解即可；再根據正方形的面積公式和菱形的面積求解．

（1）由圖可知，AB=AD，CB=CD，

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∵AB=AD，

∴點A在BD的垂直平分線上，

∵CB=CD，

∴點C在BD的垂直平分線上，

∴AC垂直平分BD，

∴AC⊥BD；

（2）四邊形ABCD是菱形．

理由如下：由（1）可得AB=AD，CB=CD，

∵AB=BC，

∴AB=BC=CD=DA，

∴四邊形ABCD是菱形；

（3）設點B到AD的距離為h，

在菱形ABCD中，AC⊥BD，且AO=CO=4，BO=DO=3，

在Rt△ADO中，AD==5，

S菱形ABCD=ACBD=ADh，

即×8×6=5h，

解得h=，

設拼成的正方形的邊長為a，則a2=×8×6，

解得a=2cm．

所以，點B到AD的距離是cm，拼成的正方形的邊長為2cm．