Question

如圖，已知拋物線y=-x²+2x+3交x軸于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A，B，C的坐標．
（2）若點M為拋物線的頂點，連接BC，CM，BM，求△BCM的面積．
（3）若點M是第一象限拋物線上的一個動點，連接BC，CM，BM，求△BCM的最大面積．

Answer 1

分析：（1）在拋物線的解析式中，令x=0可以求出點C的坐標，令x=0可以求出A、B點的坐標．
（2）將拋物線的解析式進行配方，不難求出頂點M的坐標，進而能得出MC、MB、BC的長度，首先利用勾股定理判斷△BCM是否為直角三角形，若為直角三角形，直接利用兩直角邊求面積即可．
（3）將△BCM的面積視作△OCM、△OBM的面積和再減去△OBC的面積，根據這個思路求出關于△BCM的面積和點M橫坐標的函數關系式，根據所得函數的性質解答即可．

解答：解：（1）當x=0時，y=-x²+2x+3=3；
當y=0時，0=-x²+2x+3，
解得：x₁=-1、x₂=3；
故A（-1，0）；B（3，0）；C（0，3）．

（2）由y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，得：M（1，4）；
已知：B（3，0）、C（0，3），則：MB²=20、MC²=2、BC²=18，
即：MC²+BC²=MB²，∴△BCM為直角三角形，且∠MCB為直角；
則S_△BCM=

1

2

MC•BC=

1

2

×

2

×3

2

=3．

（3）設M（x，-x²+2x+3），則：
△BCM的面積：y=S_△OMC+S_△OBM-S_△BOC
=

3

2

x+

3

2

（-x²+2x+3）-

9

2

=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
故當x=

3

2

時，△BCM的面積最大，且值為

27

8

．

點評：考查了二次函數綜合題，此題的難度不大，重在基礎知識的考查；后面兩題可以用同一種方法來解，過M作y軸的平行線，交BC于N，以MN為底，點B橫坐標的絕對值為高來解決△BCM的面積問題．