Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，點D是BC邊的中點，作射線DE，與邊AB交于點E，射線DE繞點D順時針旋轉120°，與直線AC交于點F．

（1）依題意將圖1補全；
（2）小華通過觀察、實驗提出猜想：在點E運動的過程中，始終有DE=DF．小華把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的幾種想法：
想法1：由點D是BC邊的中點，通過構造一邊的平行線，利用全等三角形，可證DE=DF；
想法2：利用等邊三角形的對稱性，作點E關于線段AD的對稱點P，由∠BAC與∠EDF互補，可得∠AED與∠AFD互補，由等角對等邊，可證DE=DF；
想法3：由等腰三角形三線合一，可得AD是∠BAC的角平分線，由角平分線定理，構造點D到AB，AC的高，利用全等三角形，可證DE=DF…．
請你參考上面的想法，幫助小華證明DE=DF（選一種方法即可）；
（3）在點E運動的過程中，直接寫出BE，CF，AB之間的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1所示：

（2）

解：想法1證明：如圖2，過D作DG∥AB，交AC于G，

∵點D是BC邊的中點，

∴DG= AB，

∴△CDG是等邊三角形，

∴∠EDB+∠EDG=120°，

∵∠FDG+∠EDG=120°，

∴∠EDB=∠FDG，

∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°，

∴△BDE≌△GDF，

∴DE=DF；

想法2證明：如圖3，連接AD，

∵點D是BC邊的中點，

∴AD是△ABC的對稱軸，

作點E關于線段AD的對稱點P，點P在邊AC上，

∴△ADE≌△ADP，

∴DE=DP，∠AED=∠APD，

∵∠BAC+∠EDF=180°，

∴∠AED+∠AFD=180°，

∵∠APD+∠DPF=180°，

∴∠AFD=∠DPF，

∴DP=DF，

∴DE=DF；

想法3證明：如圖4，連接AD，過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∵點D是BC邊的中點，

∴AD平分∠BAC，

∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∴DM=DN，

∵∠A=60°，

∴∠MDE+∠EDN=120°，

∵∠FDN+∠EDN=120°，

∴∠MDE=∠FDN，

∴Rt△MDE≌Rt△NDF，

∴DE=DF

（3）

解：當點F在AC邊上時，BE+CF= AB，

當點F在AC延長線上時，BE﹣CF= AB，

證明：①當點F在AC邊上時，如圖5中，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，

在△BDM與△CDN中， ，

∴△BDM≌△CDN，

∴BM=CN，DM=DN，

又∵∠EDF=120°=∠MDN，

∴∠EDM=∠NDF，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△EDM≌△FDN，

∴ME=NF，

∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD= AB；

②當點F在AC延長線上時，如圖6，

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，

∴△BDM≌△CDN，

∴BM=CN，DM=DN，

又∵∠EDF=120°=∠MDN，

∴∠EDM=∠NDF，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△EDM≌△FDN，

∴ME=NF，

∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD= AB，

綜上所述：當點F在AC邊上時，BE+CF= AB；

當點F在AC延長線上時，BE﹣CF= AB．

【解析】（1）根據題目中的要求作圖即可；（2）想法1，由已知得到△CDG是等邊三角形，證得∠EDB=∠FDG，根據全等三角形的性質即可得到結論；想法2，如圖3，連接AD，作點E關于線段AD的對稱點P，點P在邊AC上，根據全等三角形的性質得到DE=DP，∠AED=∠APD，等量代換得到∠AFD=∠DPF，于是得到結論；想法3，如圖4，連接AD，過D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根據角平分線的性質得到DM=DN，根據全等三角形的性質即可得到結論；（3）當點F在AC邊上時，過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要證明△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解決問題，當點F在AC延長線上時，證明方法類似．