Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線經過A（-5，0），兩點，連接AB，BO．

（1）求拋物線表達式；

（2）點C是第三象限內的一個動點，若△AOC與△AOB全等，請直接寫出點C坐標______；

（3）若點D從點O出發沿線段OA向點A作勻速運動，速度為每秒1個單位長度，同時線段OA上另一個點H從點A出發沿線段AO向點O作勻速運動，速度為每秒2個單位長度（當點H到達點O時，點D也同時停止運動）．過點D作x軸的垂線，與直線OB交于點E，延長DE到點F，使得EF=DE，以DF為邊，在DF左側作等邊三角形DGF（當點D運動時，點G、點F也隨之運動）．過點H作x軸的垂線，與直線AB交于點L，延長HL到點M，使得LM=HL，以HM為邊，在HM的右側作等邊三角形HMN（當點H運動時，點M、點N也隨之運動）．當點D運動t秒時，△DGF有一條邊所在直線恰好過△HMN的重心，直接寫出此刻t的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2），；（3）1或．

【解析】

（1）利用待定系數法求二次函數的解析式；

（2）先根據勾股定理的逆定理證明是直角三角形，且，當與全等，如圖1，分兩種情況：由對稱性可得點的坐標；

（3）分兩種情況：

①當直線經過的重心時，如圖2，先根據特殊的三角函數值計算，根據，列方程，可得的值；②當直線經過的重心時，如圖3，根據平行線分線段成比例定理可得結論．

解：（1）把，，兩點代入拋物線中得：

，

解得：，

；

（2）如圖1，，，，

，，，

，

是直角三角形，且，

當與全等，如圖1，分兩種情況：

①在軸的上方，由對稱得：，；

②在軸的下方，同理得：，，，；

綜上，點的坐標是，或，或，；

（3）分兩種情況：

①當直線經過的重心時，如圖2，

連接，

，且是等邊三角形，

在上，

由題意得：，，

由（2）知：，，

，

，

中，，，

，

軸，軸，

，

四邊形是矩形，

是重心，

，

，

，

解得：；

②當直線經過的重心時，如圖3，

，

，

，

，

，

，

，

解得：，

綜上，的值是或．

故答案為：或．