Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（﹣1，0）．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）判斷△ABC的形狀，證明你的結論.

（3）點M是對稱軸上的一個動點，當△ACM的周長最小時，求點M的坐標及△ACM的周長.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為y＝x2-x－2，頂點D的坐標為；

（2）△ABC是直角三角形，證明見解析；.

（3）△ACM的最小周長為，求點M的坐標為.

【解析】試題分析：（1）根據待定系數法，可得函數解析式，根據配方法，可得頂點坐標；

（2）根據勾股定理的逆定理，可得答案；

（3）根據軸對稱的性質，兩點之間線段最短，可得M點是對稱軸與BC的交點，根據自變量與函數值的對應關系，可得答案．

試題解析：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=x2+bx-2上，

∴×（-1）2+b×（-1）-2=0，

解得b=-，

∴拋物線的解析式為y=x2-x-2．

∵y=x2-x-2=（x-）2-，

∴頂點D的坐標為（，-）；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：

當x=0時，y=-2，

∴C（0，-2），則OC=2．

當y=0時， x2-x-2=0，

∴x1=-1，x2=4，則B（4，0），

∴OA=1，OB=4，

∴AB=5．

∵AB2=25，AC2=OA2+OC2=5，BC2=OC2+OB2=20，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形；

（3）由題意A、B兩點關于對稱軸對稱，故直線BC與對稱軸的交點即為點M．

由B（4，0），C（0，-2）

設直線BC：y=kx-2

4k-2=0，

k=．

所以直線BC：y=x-2．

當x=時，y=×-2=-．

所以M（，-）．

所以ΔACM最小周長是：AC+AM+MC=.