Question

【題目】若凸四邊形的兩條對角線所夾銳角為60°，我們稱這樣的凸四邊形為“美麗四邊形”．

（1）若矩形ABCD是“美麗四邊形”，且AB＝3，則BC＝　 　；

（2）如圖1，“美麗四邊形”ABCD內接于⊙O，AC與BD相交于點P，且對角線AC為直徑，AP＝1，PC＝5，求另一條對角線BD的長；

（3）如圖2，平面直角坐標系中，已知“美麗四邊形”ABCD的四個頂點A（﹣3，0）、C（2，0），B在第三象限，D在第一象限，AC與BD交于點O，且四邊形ABCD的面積為，若二次函數y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數，且a≠0）的圖象同時經過這四個頂點，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）3或；（2）2；（3）或

【解析】

（1）根據矩形ABCD對角線相等且互相平分，再加上對角線夾角為60°，即出現等邊三角形，所以得到矩形相鄰兩邊的比等于tan60°．由于AB邊不確定是較長還是較短的邊，故需要分類討論計算．
（2）過O點作OH垂直BD，連接OD，由∠DPC=60°可求得OH，在Rt△ODH中勾股定理可求DH，再由垂徑定理可得BD=2DH．
（3）由BD與x軸成60°角可知直線BD解析為y=x，由二次函數圖象與x軸交點為A、C可設解析式為y=a（x+3）（x-2），把兩解析式聯立方程組，消去y后得到關于x的一元二次方程，解即為點B、D橫坐標，所以用韋達定理得到xB+xD和xBxD進而得到用a表示的（xB-xD）2．又由四邊形面積可求得xB-xD=6，即得到關于a的方程并解方程求得a．

解：（1）設矩形ABCD對角線相交于點O

∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，∠ABC＝90°

∴AO＝BO＝CO＝DO

∵矩形ABCD是“美麗四邊形”∴AC、BD夾角為60°

i）如圖，若AB＝3為較短的邊，則∠AOB＝60°

∴△OAB是等邊三角形

∴∠OAB＝60°∴Rt△ABC中，tan∠OAB＝∴BC＝AB＝3

ii）如圖，若AB＝3為較長的邊，則∠BOC＝60°

∴△OBC是等邊三角形

∴OCB＝60°∴Rt△ABC中，tan∠OCB＝

∴BC＝

故答案為：3或．

（2）過點O作OH⊥BD于點H，連接OD

∴∠OHP＝∠OHD＝90°，BH＝DH＝BD∵AP＝1，PC＝5

∴⊙O直徑AC＝AP+PC＝6∴OA＝OC＝OD＝3

∴OP＝OA﹣AP＝3﹣1＝2

∵四邊形ABCD是“美麗四邊形”

∴∠OPH＝60°∴Rt△OPH中，sin∠OPH＝∴OH＝OP＝∴Rt△ODH中，DH＝

∴BD＝2DH＝2

（3）過點B作BM⊥x軸于點M，過點D作DN⊥x軸于點N

∴∠BMO＝∠DNO＝90°

∵四邊形ABCD是“美麗四邊形”∴∠BOM＝∠DON＝60°

∴tan∠DON＝，即

∴直線BD解析式為y＝x

∵二次函數的圖象過點A（﹣3，0）、C（2，0），即與x軸交點為A、C

∴用交點式設二次函數解析式為y＝a（x+3）（x﹣2）

∵整理得：ax2+（a﹣）x﹣6a＝0

∴xB+xD＝﹣，xBxD＝﹣6

∴（xB﹣xD）2＝（xB+xD）2﹣4xBxD＝（﹣）2+24

∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝ACBM+ACDN＝AC（BM+DN）

＝AC（yD﹣yB）＝AC（xD﹣xB）＝（xB﹣xD）

∴（xB﹣xD）＝15

∴xB﹣xD＝6∴（﹣）2+24＝36

解得：a1＝，a2＝

∴a的值為或．